NUMERAÇÃO - MUDANÇA DE BASE

Algarísmo - Cada um dos símbolos utilizados para representar a escrita dos números.

• Arábicos ou Árabes: É a série dos números naturais que se inicia por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... . 
• Romanos: Representados pelas letras I, V, X, L, C, D, M, que valem, respectivamente, 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Usa-se um traço acima do algarismo para multiplicá-lo por 1000. 

Numeral - Os numerais são palavras que indicam uma quantidade ou um número exato referente à quantidade de seres ou objetos aos quais se referem numa enunciação. Os numerais podem ser cardinais, ordinais, multiplicativos, fracionários e coletivos. Os numerais possuem normalmente a função adjetiva, mas podem ser substantivados. 

Numerais Cardinais - Os numerais cardinais são aqueles que utilizam os números naturais para a contagem de seres ou objetos, ou até designam a abstração das quantidades: os números em si mesmos (Exemplo: Dois mais dois são quatro), neste último caso valendo então, na realidade, por substantivos. Os numerais cardinais um, dois (e todos os números terminados por estas unidades), assim como as centenas contadas a partir de duzentos, são variáveis em gênero. Os numerais que indicam milhões, bilhões etc. são invariáveis em gênero.
 

Numerais Coletivos - Os numerais coletivos são aqueles que indicam uma quantidade específica de um conjunto de seres ou objetos. São termos variáveis em número e invariáveis em gênero.
 

Exemplos de numerais coletivos são: dúzia(s), milheiro(s), milhar(es), dezena(s), centena(s), par(es), década(s), grosa(s).

Numerais Fracionários - Os numerais fracionários são aqueles que indicam partes, frações, sendo concordantes com os numerais cardinais. Exemplo: Três quartos da superfície terrestre são cobertos de água.

Numerais Multiplicativos - Os numerais multiplicativos são aqueles que indicam uma quantidade equivalente a uma multiplicação (uma duplicação, uma triplicação etc.). 

Exemplos: às vezes, as palavras possuem duplo sentido; Arrecadou-se o triplo dos impostos relativos ao ano passado.

Numerais Ordinais - Os numerais ordinais são aqueles que indicam a ordenação ou a sucessão numérica de seres e objetos. Exemplos: Recebeu o seu primeiro presente agora mesmo.
 

Número - É a palavra ou símbolo que expressa quantidade, grandeza, intensidade, ordem, etc.   

Numeração - É o modo como empregamos um mínimo de símbolos e palavras na representação dos números. 

Sistema de Numeração - É o conjunto de um mínimo de regras para indicarmos os números, ou seja, é um sistema de contagem.
 

Princípio da Posição Decimal - Todo algarismo colocado à esquerda de outro tem um valor 10 vezes maior do que teria se estivesse no lugar desse outro.
 

Princípio da Posição Geral - Todo algarismo colocado à esquerda de outro representa unidades de ordem superior à ordem desse outro.
 

Ordens - São as unidades, dezenas, centenas, milhares, milhões, etc ..., isto é, são as posições das "casas" que o algarismo ocupa no número.
 

Valor relativo ou posicional de um algarismo - Valor que o número possui em relação ao lugar que ele ocupa no numeral.
 

Valor Absoluto de um algarismo - É o valor que ele representa considerando-o isoladamente.
 

Base de um sistema de numeração - É o conjunto de nomes ou símbolos necessários para representarmos qualquer número.
 

Base 2 - Chamamos de Sistema Binário e empregamos a contagem de 2 em 2, utilizando somente os algarismos: 0 e 1.
 

Observação: Os computadores empregam o sistema binário, traduzindo o algarismo 1 pela passagem de corrente elétrica (circuito fechado - lâmpada acesa) e o algarismo 0 pela não passagem de corrente elétrica (circuito aberto - lâmpada apagada). A leitura dos números pelo computador é feita de acordo com as "aberturas" e/ou "fechamentos" à passagem de corrente elétrica nos circuitos.
 

Base 8 - Chamamos de Sistema Octal e empregamos a contagem de 8 em 8, utilizando somente os algarismos: 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6 e 7.
 

Base 16 - No sistema de base 16 (Hexadecimal), empregaremos a contagem de 16 em 16, utilizando apenas os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
 

Base 10 - O Sistema de Numeração Decimal tem as seguintes características:

• É de base 10.

• Usa somente os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 para escrever todos os números.

• Obedece ao princípio da posição decimal (vide acima).

Observação: A Calculadora Científica do Windows traz os Sistemas BINÁRIO, DECIMAL, OCTAL E HEXADECIMAL. Existem vários programas de calculadoras e calculadoras eletrônicas que trazem tais sistemas de numeração.
 

Vejamos, então, alguns exemplos sobre os temas referenciados acima.
 

Explicando o Sistema de Numeração Decimal ou de Base 10.

Representaremos um número a na base n assim: (a)n.

Exemplos:

34 = (34)10 ;

456 = (456)10 ;

(10111)2 = (23)10 = 23. 

Abaixo, um exemplo de mudança de base. O número 43 na base 10 foi convertido para 101011 na base 2.

Observe que a leitura deve ser feita da direita para a esquerda. 

Podemos, também, usar a notação exponencial para mudar a base de um número.

Veja que no exemplo o número 109 na base 10 é transformado no número 414 na base 5 pela divisão.
Depois, o número 414 na base 5 é transformado no número 109 na base 10 pela notação exponencial.

Multiplicando por potência de base 10 - Quando efetuamos a multiplicação por 101 , 102 , 103 , ... , 10n deslocamos a vírgula uma, duas, três, ..., n casas para a direita, observando que a quantidade de casa a ser deslocada é sempre igual ao expoente da potência.

Exemplos:
 

a) 7,36 x 101 = 73,6

b) 4,589 x 102 = 458,9

c) 0,84433 x 103 = 844,33

d) 75 x 104 = 750000
 

Quando efetuamos a multiplicação por 10-1 , 10-2 , 10-3, ... , 10-n,deslocamos a vírgula uma, duas, três, ... , -n casas para a esquerda, observando que a quantidade de casa a ser deslocada é sempre igual ao expoente da potência.

Exemplos:
 

a) 392 x 10-2 = 3,92

b) 5879 x 10-1 = 587,9

c) 48965 x 10-3 = 48,965

d) 457 x 10-4 = 0,0457
 

Notação Científica - A notação científica é uma forma de transformar a representação escrita de um número, "muito grande" ou "muito pequeno", em uma maneira mais fácil de ser trabalhado. Forma geral: a x 10n.
 

Sabemos que a distância da terra até o sol é de, aproximadamente, 150 000 000 km ou que o próton realiza seu movimento de revolução no interior de um núcleo atâmico em 0, 000 000 000 000 000 000 000 1 segundos. Já parou para pensar como seria trabalhoso fazer uma multiplicação ou efetuar qualquer outra operação com um destes números?
 

Escrevendo um número em Notação Científica - Para escrevermos um número na forma de notação científica precisamos ficar atentos as seguintes práticas:

• A base (a) da potência deve ser maior que 1, igual a 1 ou menor que 10 (1 > a < 10; a=1).

• A potência será representada na forma de um produto de dois fatores, onde o primeiro fator é a e o segundo é 10n.

Exemplos:

a) 7,31 x 108

b) 6,43 x 10-6

c) 2,349 x 1043

d) 9,2579 x 10-48

e) 5,8 x 10-108

Observe alguns conversões para a notação científica: 

a) 750 000 000 000 = 7,5 x 1011 (a vírgula deslocou 11 casas para a esquerda).

b) 0,000 000 000 000 000 000 776 = 7,76 x 10-19 (a vírgula deslocou 19 casas para a direita).

c) 0,43289 = 4,3289 x 10-1 (a vírgula deslocou 1 casas para a direita).

d) 100 000 000 = 1 x 108 (a vírgula deslocou 8 casas para a esquerda).

e) 1 655 000 000 000 000 000 = 1,665 x 1018 (a vírgula deslocou 18 casas para esquerda).

f) 0,000 000 000 000 01 = 1 x 10-14 (a vírgula deslocou 14 casas para direita). 

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