FRAÇÕES

O Conjunto Q - Números Racionais

Os números racionais são representados por um numeral em forma de fração ou razão, na forma a/b, sendo a e b números naturais, com b diferente de zero. O termo a chama-se numerador e o termo b chama-se denominador. Número racional é aquele definido por uma classe de equivalência da qual cada fração é um de seus representantes.

Número racional natural ou número natural: 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 … ( definido pela classe de equivalência que representa o número racional 0).

1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (definido pela classe de equivalência que  representa o número racional 1).

2 = ..., e assim por diante.

Número racional fracionário ou número fracionário: 3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... (definido pela classe de equivalência que representa o número racional 3/5).

No estudo das frações equivalentes são válidas as propriedades REflexiva, SImétrica e TRANsitiva (RE-SI-TRAN), com o denominador diferente de zero.

Reflexiva: a/b ~ a/b
Simétrica: se a/b ~c/d, então : c/d ~ a/b
Transitiva: se a/b ~ c/d ec/d ~p/q, então: a/b ~ p/q

Para compararmos duas ou mais frações quaisquer, primeiramente convertemos todas as frações envolvidas em frações de mesmo denominador.

Exemplo: Escreva em ordem crescente , da menor para a maior, as seguintes frações: 5/3, 3/4, 1/2 e 2/1.

Determinamos o m.m.c. dos denominadores. Temos que o m.m.c. (3,4,2,1) = 12. Veja: 5/3, 3/4, 1/2, 2/1  <=> 25/12, 9/12, 6/12, 24/12, logo, em ordem crescente temos: 6/12 < 9/12 < 24/12 < 25/12 <=> 1/2 < 3/4 < 2/1 < 5/3.

Concluímos que:

- Entre duas frações que tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.

- Entre duas frações que tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

Todo número natural pode ser representado por uma fração com denominador igual a 1. Então, é possível reunir os números naturais e os números fracionários em um único conjunto, chamado de conjunto dos números racionais absolutos, ou conjunto dos números racionais Qa.

Um número representado por uma fração não muda seu valor quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero, ao mesmo tempo.

O símbolo de equivalência para frações é ~.

Exemplo:

1. 2/3 ~ 2x5/3x5 ~ 10/15 ~ 10x2/15x2 ~ 20/30 ~ 20.4/30.4 ~ 80/120 ~ ...
2. 36/18 ~ 36:2/18:2 ~ 18/9 ~ 18:3/9:3 ~ 6/3 ~ 6:3/3:3 ~ 2/1.

Ao conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada, chamamos de Classe de equivalência.

Exemplo:

1. { 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, ...} representa a classe de equivalência da fração 2/3.
2. {5/1, 10/2, 15/3, 20/4, ...} representa a classe de equivalência da fração 5/1.

Tipos ou Nomes das Frações

1) Próprias: representam quantidades menores que 1. ( 1/2, 3/4, 2/7, 5/6, ...).

2) Impróprias: representam quantidades iguais ou maiores que 1. (7/7, 5/3, 6/1, 13/4, ...).

3) Aparentes: as que representam um número natural. (12/3=4, 6/2=3, 100/50=2, ...).

4) Decimais: as que tem o denominador igual a 10 ou potência de 10. (7/10, 9/100, 15/1000, 1/10000, ...).

5) Iguais: as que possuem os termos iguais, isto é, mesmo numerador e mesmo denominador. (3/4 = 3/4, 5/2 = 5/2, 13/25 = 13/25, ...).

6) Ordinárias: é o nome dado a todas as frações, com exceção àquelas que possuem como denominador 10 ou uma potência de 10.

7) Irredutível: é a fração que não pode ser mais simplificada, porque seus termos são primos entre si. (3/4, 5/6, 3/7, 11/20, ...).

8) Mista: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária. 2 4/7 = 2 + 4/7 = 18/7, veja que: 18:7 = 2 e resta 4.

Observação: Para simplificar uma fração, desde que não tenha termos primos entre si, basta dividir os dois termos pelo seu máximo divisor comum - m.d.c.

Veja:

• 36/15 = 36:3/15/3 = 12/5
• 10/35 = 10:5/35:5 = 2/7