Fractais
Existem muitas estruturas matemáticas que são fractais: o triângulo de Sierpinski, a curva de Koch (ou floco de neve), a curva de Peano, o conjunto de Mandelbrote os atratores de Lorenz. Os fractais também descrevem muitos elementos do mundo real, tais como nuvens, montanhas, turbulência, linhas costeiras, que não correspondem a figuras geométricas simples.
Há mais de dois mil anos atrás, um matemático grego chamado Euclides estava - segundo a tradição - caminhando pela praia quando notou que a areia, vista como um todo, assemelhava-se a uma superfície contínua e uniforme. A areia aos seus pés, entretanto, era composta de pequenas partes visíveis.
Desde então Euclides empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples - cubos, paralelepípedos, esferas... Tarefa bastante difícil, diga-se de passagem... .
Sobretudo porque Euclides estava-se concentrando nas formas, deixando de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. Foi esta a chave para o pensamento inicial deste matemático, já que um grão de areia, tomado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade) enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana - possui duas dimensões apenas.
Este foi o ponto de partida para um matemático chamado Benoit Mandelbrot, que descreveu matematicamente a idéia original de Euclides acrescentando a ela a questão da dimensão. Surgiu aí a denominação dos fractais, que é explicada por Mandelbrot assim: "Eu cunhei a palavra fractal do adjetivo em Latim fractus. O verbo latino correspondente frangere significa 'quebrar': criar fragmentos irregulares. É contudo sabido - e como isto é apropriado para os nossos propósitos! - que, além de significar 'quebrado' ou 'partido', fractus também significa 'irregular'. Os dois significados estão preservados em fragmento."
(The Fractal Geometry of Nature, B. Mandelbrot)
Gráficos Fractais
Teoricamente gráficos fractais abrangem toda e qualquer representação gráfica de cálculos. São classificados principalmente pelas suas complexidades e estruturas infinitas.
Einstein através de sua Teoria da Relatividade já trazia a ideia de que tudo no mundo real poderia ser expresso através de cálculos.
A Teoria dos Fractais é também conhecida por "Teoria do Caos". Compreendendo sistemas dinâmicos caóticos. Algumas pessoas chegam a comentar que a imperfeição seria a realidade e os fractais uma visão da perfeição.
Importantes personalidades: Benoit Mandelbrot um dos precursores da Teoria dos Fractais. Hoje muito conhecido por dar nome ao principal algoritmo gerador de fractais.
Gaston Julia também se destaca por separar ramificações nos cálculos de Mandelbrot.
Sabemos que através de cálculos fractais podemos também gerar paisagens e determinadas estruturas próximas da realidade.
Os fractais compreendem muitos algoritmos, tais como o Triângulo de Sierpinski, o Atrator de Lorenz, os Arbustos Fractais, Plasmas, etc.
Efeitos Climáticos
Em 1960, o precário e ruidoso computador de Edward Lorenz, no campus do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, passava os dias a reproduzir imaginários eventos climáticos. A cada minuto, correspondente a um dia, a máquina (um Royal McBee) fabricava uma série de números estranhos. Eram códigos que exprimiam condições meteorológicas, como regime de ventos e mudanças de temperatura.
Para Lorenz, apaixonado pela Matemática e pela Meteorologia, os primeiros computadores foram a realização de um sonho antigo. Só a máquina poderia explorar a afirmação newtoniana de que o mundo era constituído e se alterava de maneira determinista. O computador, em teoria, permitiria prever o futuro do universo a partir de suas condições iniciais e das leis que regem sua evolução.
No caso das condições climáticas, o número de variáveis é tão grande que qualquer previsão merece alguma desconfiança. Mesmo assim, Lorenz seguiu suas experiências. O computador produzia uma série de eventos prováveis, plausíveis e amplamente reconhecíveis. Os ciclos de fenômenos não eram iguais, mas respondiam a um padrão.
Num dia de inverno, em 1961, Lorenz determinou-se a examinar mais detalhadamente uma sequência de eventos. Para poupar tempo, entretanto, tomou um caminho mais curto. Para fornecer à máquina suas condições iniciais, digitou os números obtidos da impressão anterior. Foi tomar um café e quando voltou, uma hora depois, espantou-se com o que viu.
Os padrões de comportamento climático começaram a divergir radicalmente na má,quina. Pensou que uma válvula eletrônica tivesse queimado. Não tinha. O problema era outro. A memória do computador armazenava seis casas decimais: 0,506127. Na impressão colhida por Lorenz, entretanto, apareciam apenas três números depois da vírgula.
Ele os digitou acreditando que a diferença (um para mil) não interferiria nos ciclos de eventos. Errou. O Royal McBee usava um programa clássico, com um sistema de equações determinista. Concebido um ponto de partida, as condições meteorológicas se repetiriam de maneira exatamente igual, a cada vez. Um ponto de partida ligeiramente diferente resultaria em eventos apenas ligeiramente diferentes. No caso de Lorenz, no entanto, os pequenos erros e alterações refutaram essa teoria. Revelaram-se perfeitamente capazes de produzir grandes catástrofes.
Determinadas Incertezas
O desenvolvimento recente das teorias sobre o caos colocou sob suspeita dogmas cultivados pelas ciências físicas e pela filosofia. Na base do debate, figura a disputa entre determinismo e indeterminismo. Durante séculos, apregoou-se a possibilidade da identificação de leis gerais e infalíveis que facultassem o ingresso do homem ao mundo do pleno conhecimento e das previsões perfeitas. Desde Maxwell, no entanto, vozes da dissonância mostram a complexidade dos sistemas dinâmicos, sejam eles ligados a fenômenos puramente naturais, sejam produzidos pela ação humana. O cientista escocês difundiu a ideia de "pontos de singularidade", em que pequenos fatores tem influenciada amplificada e são capazes de alterar radicalmente um processo.
O francês Henri Poincaré mostrou com clareza a suscetibilidade dos sistemas às condições iniciais. Uma mínima incerteza na gênese de um processo pode conduzir a desvios enormes e crescentes. A ciência reconhece a impossibilidade, pelo menos temporal, de identificar todos os pequenos fatores de influência e de mapear com absoluta certeza as condições primordiais. Disso resulta a incapacidade de prever com precisão os eventos futuros.
Nos últimos anos, a difusão do uso de computadores possibilitou a resolução de equações deterministas newtonianas não lineares, cujas soluções são extremamente sensíveis à condição inicial. "Ao contrário da mecânica quântica, que é indeterminista mas faz predições, parte-se agora de uma teoria determinista e chega-se a uma situação de imprevisibilidade", afirma o doutor em física Luiz Pinguelli Rosa, da Universidade Federal do Rio de Janeiro. "Daí o nome de de caos determinista, muito usado pelos pesquisadores."
Segundo Rosa, no entanto, o estudo do caos nos sistemas dinâmicos não deve ser visto como uma disputa conceitual de escolas científicas ou filosóficas. O professor vê aplicações práticas das novas descobertas na avaliação do comportamento de sistemas aparentemente desordenados, instáveis e aperiódicos. "A Medicina e a Biologia, por exemplo, tem utilizado com sucesso os conceitos desenvolvidos em outras áreas na avaliação de sistemas dinâmicos", ressalta. "Na universidade temos realizado trabalhos para avaliar o comportamento de produtos utilizados pela engenharia química." Dessa forma, tem sido possível avaliar a resposta de materiais a mudanças de regime e a situações não convencionais.
O professor destaca o alcance inimaginável do estudo dos problemas não lineares. No caso da Economia, por exemplo, as polêmicas se multiplicam a cada dia. O comportamento das Bolsas de Valores, em particular, é um fenômeno que intriga e desafia matemáticos todos os dias. Muitos computadores foram desmoralizados ao tentar prever com precisão eventos no mercado de ações.
No caso da macroeconomia, colocam-se na linha de tiro os conceitos do liberalismo. O equilíbrio perfeito, supostamente resultante do livre comércio e da ausência de intervenção, pode jamais ser alcançado. Esse universo paradisíaco de prosperidade tende a se manifestar somente como uma trégua temporal e localizada em um ambiente de deformações e de evolução caótica. Na verdade, estuda-se hoje para diminuir o grau de indeterminismo dos processos e para dominar o conhecimento dos modelos heterogêneos que se misturam em um fenômeno. Esse é o grande desafio dos cientistas nesta conturbada esquina de milênios.
Durante muito tempo, o homem dedicou-se a desenvolver teorias para explicar coincidências (ou a ausência delas) no universo dos números e das formas. Essas fórmulas, baseadas sobretudo nos princípios de Euclides, foram, no entanto, incapazes de abranger a essência dos episódios irregulares. Nas últimas décadas, os cientistas acabaram por saltaram dos trilhos da linearidade euclidiana para se aventurar no túnel dos fragmentos.
Além de exercício parestético, o trabalho com fractais é hoje um símbolo sofisticado da ciência do caos, cujo objetivo é detectar padrões nas coisas desprovidas de ordem aparente. O criador das primeiras imagens de fractais, na década de 70, foi o polonês Benoit Mandelbrot, nascido de uma família judia. O cientista passou boa parte da infância e da juventude fugindo de guerras e teve sua formação intelectual marcada por saltos e interrupções.
O laborioso e criativo menino jamais decorou o alfabeto e a tabuada além de cinco. Tinha, no entanto, uma ótima intuição geométrica, que aplicava a seus estudos de economia, engenharia e fisiologia. Mandelbrot, dono de uma inteligência desorganizada e substancialmente imaginativa, acabou por dar à luz os fractais nos computadores da IBM, empresa em que trabalhou por vários anos.
Em uma tarde de inverno em 1975, o cientista encontrou no dicionário de latim do filho pequeno um nome para sua abstração. Mandelbrot escolheu o termo fractus, do verbo frangere (fraturar, quebrar), que depois se tornaria fractal. Uma palavra que se casava bem com os ingleses fracture e fraction. Um traço importante da vida daquele homem estava representado naquela expressão.
Nova Ordem Caótica controla a Internet
A fantástica malha de informações da Internet é hoje um modelo vivo das relações caóticas do universo. Na rede, conjugam-se as ofertas da multiplicidade e as dúvidas da escolha. Um pesquisador que prepara um estudo pode servir-se, via computador, de milhões de diferentes informações. Em poucos minutos, em condições técnicas ideais, pode colher dados oferecidos por um colega chinês e compará-los com o de outro na Groenlândia.
O pesquisador da Universidade de São Paulo (USP), Ronaldo Entler, tem se dedicado a estudar os processos caóticos na produção artística e no uso dos novos sistemas informatizados de comunicação. Em suas observações, percebeu claras similaridades entre sistemas dinâmicos das ciências físicas e as teias de informação da Internet. "A rede oferece acesso a diferentes assuntos, todos interligados, em ordens que não obedecem necessariamente aos catálogos das bibliotecas e aos processos de pesquisa convencional", analisa. "A maneira como se trilha o caminho da informação acaba por alterar as indagações do pesquisador e o resultado final de seu trabalho".
Em seu trabalho "O Caos na Rede e a Ruptura das Hierarquias" - Entler destaca a interdisciplinaridade como virtude de um novo padrão de construção do conhecimento. Na Internet, as informações não estão necessariamente arquivadas como nas estantes de uma livraria. Na busca por um dado, esbarra-se ao acaso em uma série de informações correlatas, muitas vezes capazes de enriquecer o estudo em curso. "A situação sugere que o pesquisador se coloque sensível aos eventuais novos caminhos, apontados no próprio trajeto", teoriza Entler.
De acordo com o pesquisador, a Internet tem articulado uma nova ordem no aparente universo dos dados desconexos e da informação desencontrada. O histórico divórcio entre a rede e os sistemas convencionais de pesquisa teria três aspectos fundamentais: multiplicidade dos gêneros de informação, novos métodos de classificação de dados e interatividade. Entler acredita que o novo perfil dos meios de comunicação e interação determinará uma nova concepção de pesquisa de estruturação do conhecimento adquirido. "O caos não é um obstáculo a ser transposto, já que é uma característica genética da Rede", afirma. "É, ao contrário, um estímulo à livre experimentação".
O Caos por escrito
A literatura e as narrativas orais estão repletas de exemplos da presença do caos nas vidas humanas. Em realidade ou ficção, os escritores e jornalistas mostram como é complexa a teia dos acontecimentos, e como é também complexo o tecido da teia. "Pela falta de um prego, perdeu-se a ferradura; pela falta da ferradura, perdeu-se o cavalo; pela falta do cavalo, perdeu-se o cavaleiro; pela falta do cavaleiro, perdeu-se a batalha; por falta da batalha, perdeu-se o reino."
Os exemplos multiplicam-se no dia-a-dia, em fatos reais. O italiano chegou adiantado alguns minutos ao aeroporto e embarcou noutro avião. Aquele que lhe era inicialmente destinado, o Jumbo da TWA, explodiu no ar minutos depois da decolagem. O tenista brasileiro Fernando Meligeni vai sacar, em um jogo na Olimpíada de Atlanta. Um torcedor anônimo, na platéia grita: "ele vai errar!". A "praga" é destinada ao adversário, mas mesmo assim Meligeni perde a concentração, perde o ponto, depois o jogo e a chance de obter medalha.
Caos em tempos de racionalismo - Em 1809, Wolfgang Goethe compõe uma obra clássica que mostra quão imprevisível pode ser o futuro de um homem. Em "Afinidades Eletivas", Goethe faz referência ao fenômeno químico em que dois elementos associados, sob atração de dois outros elementos, se desagregam para formar dois novos pares. A vida tranquila de um casal é subitamente transformada pela chegada de dois hóspedes. O autor mostra as forças da natureza, aparentemente ocultas, em ação sobre as relações pessoais e sociais. Goethe fala sobre um mundo de "incertezas inextricáveis". A obra detecta os paradoxos da consciência racional que se consolidou com o Século das Luzes.
Na teia das estradas - O escritor italiano Ítalo Calvino produz uma alegoria do caos e da multiplicidade em seu conto "A Aventura de um automobilista", do livro "Os Amores Difíceis". Um homem briga, por telefone, com a namorada que mora em outra cidade. Ele diz que pretende terminar a relação e ela responde que ligará para um outro pretendente. Em seguida, ele se arrepende do que disse e resolve viajar de carro para desculpar-se.
Na estrada, à noite, inúmeras possibilidades atormentam o apaixonado. Imagina que qualquer carro que vem na direção contrária pode ser o de sua amada, o que criaria um desencontro. Depois de muito pensar resolve retornar, mas qualquer carro na direção contrária pode ser o do rival, que estaria rumando para um encontro com moça.
O protagonista imagina que os três podem continuar indefinidamente a correr para frente e para trás naquela estrada. "Verdade que o preço a ser pago é alto, mas temos que aceitá-lo: não podermos nos distinguir dos muitos sinais que passam por este caminho, cada um com um significado seu que permanece escondido e indecifrável, pois fora daqui não há mais ninguém capaz de nos receber e nos entender".
Webmaster: Adriano Sumar Cardoso
Teacher of Mathematic / Professor de Matemática
