NÚMEROS, GEOMETRIA E RELAÇÕES
Introdução
O
Currículo de Matemática do Governo do Estado de São Paulo divide o
Estudo da Matemática em três blocos temáticos. São eles: Números,
Geometria e Relações. Naturalmente, os conteúdos dos três blocos
interpenetram-se permanentemente, sendo praticamente impossível abordar
um deles sem a participação quase automática dos dois outros, e é
importante mencionar a positividade de tal fato.
Os NÚMEROS
envolvem as noções de contagem, medida e representação simbólica, tanto
de grandezas efetivamente existentes quanto de outras imaginadas a
partir das primeiras, incluindo-se a representação algébrica das
operações fundamentais sobre elas. Duas ideias fundamentais na
constituição da noção de número são as de equivalência e de ordem.
A GEOMETRIA
diz respeito diretamente à percepção de formas e de relações entre
elementos de figuras planas e espaciais; a construção e a representação
de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e a elaboração de
concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do mundo
físico que nos cerca.
As RELAÇÕES,
consideradas como um bloco temático, incluem a noção de medida, com a
fecundidade e a riqueza da ideia de aproximação; as relações métricas em
geral; e as relações de interdependência, como as de proporcionalidade
ou as associadas a ideia de função. De fato, os Números são construídos a
partir das relações de equivalência e de ordem; na Geometria, um lugar
de especial destaque é ocupado pelas relações métricas; e praticamente
todas as Relações que imaginarmos incluirão números ou formas
geométricas.
GRUPO I – Competências para observar:
H1 - Reconhecer as diferentes representações de um número racional;
H2 – Identificar fração como representação que pode ser associado a diferentes significados;
H3
– Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma
extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de
“ordens” como décimos, centésimos e milésimos.
GRUPO II – Competências para realizar
H10
– Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).
GRUPO III – Competências para aprender:
H15
– Resolver problemas com números racionais que envolvam as seis
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação);
H16 – Resolver problemas que envolvam porcentagem.
O Conjunto Q - Números Racionais
Definição
Concluímos que:
Entre duas frações que tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.
Entre duas frações que tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.
Todo número natural pode ser representado por uma fração com denominador igual a 1.
Então,
é possível reunir os números naturais e os números fracionários em um
único conjunto, chamado de conjunto dos números racionais absolutos, ou
conjunto dos números racionais Q.
NÚMEROS: equivalência /ordem; simbolização /operações;
GEOMETRIA: percepção/concepção; construção /representação;
NÚMEROS: medidas/aproximações; proporcionalidade / interdependência.
Baseado
neste contexto e conforme atividade proposta por este curso, elaboramos
uma aula para o 9º ano onde Competências do Sujeito e suas Habilidades
H1, H2, H3, H10, H15 e H16 sejam contempladas. O que são tais
habilidades? Abaixo, destacamos cada uma delas:
Proporcionalidade, noção de semelhança;
Relações Métricas no Triângulo Retângulo;
Razões Trigonométricas.
A
melhor matéria do currículo ou do Caderno do Aluno que pode contemplar
tais competências é a do 3º Bimestre – Geometria / Medidas. Mais
especificamente:
Revisão de conteúdos resumidos das séries anteriores para a melhor compreensão do conteúdo da série atual
Os
números racionais são representados por um numeral em forma de fração
ou razão, na forma a/b, sendo a e b números naturais, com b diferente de
zero. O termo a chama-se numerador e o termo b chama-se denominador.
Número racional é aquele definido por uma classe de equivalência da qual
cada fração é um de seus representantes.
Número
racional natural ou número natural: 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3… ( definido
pela classe de equivalência que representa o número racional 0).
1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (definido pela classe de equivalência que representa o número racional 1).
2 = ..., e assim por diante.
Número racional fracionário ou número fracionário:
3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... (definido pela classe de equivalência que representa o número racional 3/5).
No
estudo das frações equivalentes são válidas as propriedades REflexiva,
SImétrica e TRANsitiva (RE-SI-TRAN), com o denominador diferente de
zero.
Reflexiva: a/b ~ a/b
Simétrica: se a/b ~c/d, então : c/d ~ a/b
Transitiva: se a/b ~ c/d ec/d ~p/q, então: a/b ~ p/q
Para
compararmos duas ou mais frações quaisquer, primeiramente convertemos
todas as frações envolvidas em frações de mesmo denominador.
Exemplo: Escreva em ordem crescente , da menor para a maior, as seguintes frações: 5/3, 3/4, 1/2 e 2/1.
Determinamos o m.m.c. dos denominadores. Temos que o m.m.c. (3,4,2,1) = 12.
5/3,
3/4, 1/2, 2/1 <=> 25/12, 9/12, 6/12, 24/12, logo, em ordem
crescente temos: 6/12 < 9/12 < 24/12 < 25/12 se,e somente se,
1/2 < 3/4 < 2/1 < 5/3.
Um
número representado por uma fração não muda seu valor quando
multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador por um mesmo
número natural, diferente de zero, ao mesmo tempo.
O símbolo de equivalência para frações é ~.
Exemplo:
1) 2/3 ~ 2x5/3x5 ~ 10/15 ~ 10x2/15x2 ~ 20/30 ~ 20.4/30.4 ~ 80/120 ~ ...
2) 36/18 ~ 36:2/18:2 ~ 18/9 ~ 18:3/9:3 ~ 6/3 ~ 6:3/3:3 ~ 2/1
Ao conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada, chamamos de Classe de equivalência.
Exemplo:
1) { 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, ...} representa a classe de equivalência da fração 2/3.
2) {5/1, 10/2, 15/3, 20/4, ...} representa a classe de equivalência da fração 5/1.
Tipos ou Nomes das Frações
Próprias: representam quantidades menores que 1.
( 1/2, 3/4, 2/7, 5/6, ...)
2) Impróprias: representam quantidades iguais ou maiores que 1.
(7/7, 5/3, 6/1, 13/4, ...)
3) Aparentes: as que representam um número natural.
(12/3=4, 6/2=3, 100/50=2, ...)
4) Decimais: as que tem o denominador igual a 10 ou potência de 10.
(7/10, 9/100, 15/1000, 1/10000, ...)
5) Iguais: as que possuem os termos iguais, isto é, mesmo numerador e mesmo denominador.
(3/4 = 3/4, 5/2 = 5/2, 13/25 = 13/25, ...)
6) Ordinárias: é o nome dado a todas as frações, com exceção àquelas que possuem como denominador 10 ou uma potência de 10.
7) Irredutível: é a fração que não pode ser mais simplificada, porque seus termos são primos entre si.
(3/4, 5/6, 3/7, 11/20, ...)
8) Mista: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária.
2 4/7 = 2 + 4/7 = 18/7, veja que: 18:7 = 2 e resta 4
Observação:
Para simplificar uma fração, desde que não tenha termos primos entre
si, basta dividir os dois termos pelo seu máximo divisor comum - m.d.c.
1) 36/15 = 36:3/15/3 = 12/5
2) 10/35 = 10:5/35:5 = 2/7
Utilizando
as Competências do Grupo I, II e III para o ensino das Semelhanças,
Relações Métricas no Triângulo Retângulo e Relações Trigonométricas.
Ao
aplicarmos o teorema de Pitágoras, por exemplo, escrevendo os valores
das medidas dos lados na forma de frações e depois na forma de decimais
exatos, podemos dar ao aluno um exemplo significativo para a compreensão
da relação entre os dois tipos de números racionais. Além disso,
podemos adequar o exercício de modo a utilizar as operações de adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Por
exemplo, no triângulo abaixo (Exemplo de Aplicação 1) ao calcularmos o
valor da medida do lado X, temos a possibilidade de trabalharmos com
frações ou decimais exatos. Lembrando que podemos até falar para o aluno
que o número de casas após a vírgula só aumenta a precisão da medida.
Quanto mais casas após a vírgula, mais difícil é para desenharmos o lado
do triângulo ou uma medida de comprimento qualquer. Pode ser comentado
que existe o “paquímetro”, que é um equipamento para medidas de
comprimento com uma maior precisão que a régua comum de 30 cm que
acompanha o kit que eles ganharam.
Régua 30 cm
Paquímetro analógico
Exemplo
de Aplicação 1: Usando a régua, desenhe e calcule o valor do cateto X
no triângulo abaixo. Para cada 1 m (metro) da medida real contida no
texto, considere 1 cm (centímetro) da sua régua do kit.
Usando decimais exatos.
a -) Achar a medida de um dos catetos.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: a² = b² + c²
3,5² = (2,5)² + b²
12,25 = 6,25 + b²
12,25 – 6,25 = b²
b² = 6
b =
b = 2,45 m
b-) Achar a medida de um dos catetos.
Questionário:
1- Foi fácil usar a régua para achar a medida correta dos lados 2,5 cm; 3,5 cm e X?
2- Como você fez para medir o ângulo reto do triângulo retângulo?
3- Você conhece o paquímetro? O que acha de fazer uma pesquisa na internet para conhecê-lo?
4- Você percebeu e compreendeu porque os resultados encontrados nos dois exercícios são iguais?
5- Qual dos exercícios você achou mais fácil de calcular, o com decimais ou o com frações?
6- A medida do menor cateto é quantos por cento do maior cateto?
Observação:
Ao pedirmos para o aluno calcular o valor de X da hipotenusa, ele terá
de fazer a operação de adição e, então, terá treinado as seis operações
(adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação)
com números racionais. Vale lembrar, dos cálculos de mdc e mmc. Para
simplificar as frações redutíveis usamos o mdc e para equilibrar os
denominadores nas adições e subtrações de frações com denominadores
diferentes usamos o mmc.
Trigonometria No Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas
Seno
- Num triângulo retângulo, o sen de um ângulo agudo é dado pelo
quociente (resultado de uma divisão) entre o cateto oposto a esse ângulo
e a hipotenusa. Na calculadora científica o seno é indicado pela tecla
sin.
Cosseno - Num triângulo retângulo, o cos de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
Tangente
- Num triângulo retângulo, a tg de um ângulo agudo é dado pelo
quociente entre o cateto oposto e cateto adjacente a esse ângulo.
Podemos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cosseno
do mesmo ângulo. Na calculadora científica a tangente é indicada pela
tecla tan.
Ao
demonstrar as possíveis relações entre os lados de um triângulo
retângulo, tomados dois a dois, devemos falar que são seis
possibilidades e que só as três acima serão aprendidas agora, na 8ª
série (ou 9º ano) do E. F. Daí, o aluno entenderá que não deve inverter
os catetos ou a hipotenusa quando escrever a relação trigonométrica.
O
uso da tabela e da calculadora é muito importante nessa fase, visto que
o aluno que tem dificuldades em fazer as operações básicas manualmente,
não se sentirá deslocado do grupo. Particularmente, levo minhas
calculadoras e tablet para auxiliar os alunos durante as aulas. A
maioria dos alunos possuem smartphones com aplicativos de calculadoras
científicas. Como o smarphone é considerado a invenção do século e por
ter várias utilidades, tento fazer com que eles utilizem tais
tecnologias, mas sem se dispersar da aula com outras funções do celular.
Também uso um aplicativo para smartphones que serve para medir ângulos.
É um transferidor digital e muito preciso. Bom para comparar as medidas
de graus do transferidor e do aplicativo para android quando o desenho é
na lousa. Inclusive já usei este aplicativo para medir o ângulo e de
calcular o coeficiente angular durante algumas aulas de Geometria
Analítica para a 3ª série do ensino médio.
Aplicativo para android: Transferidor- Smart Protractor
Razões Trigonométricas – Junho/2013
Na
aula da foto acima expliquei as seis possíveis combinações ao
relacionarmos dois lados de um triângulo retângulo. É bom comentar que
só estudaremos três das seis possibilidades. Note que aparece escrito na
lousa: “Nesta série estudaremos apenas as três primeiras. São elas:...”
Correção da Prova Diagnóstica – Março/2013
Podemos
usar a tabela trigonométrica e a calculadora científica para que o
aluno entenda que os valores são os mesmos. Devemos explicar que antes
da calculadora e do computador os matemáticos tinham que fazer esses
cálculos manualmente. Podemos encaixar neste momento um pouco de
história da matemática.
A
foto acima foi tirada durante a correção da prova diagnóstica aplicada
pela Diretoria de Ensino, que foi aplicada para as quatro turmas das 8ª
séries que leciono. Percebi que todos os alunos erraram o exercício da
escada encostada na parede, que utiliza o Teorema de Pitágoras. Então a
medida imediata para corrigir tal problema, foi antecipar o conteúdo do
3º bimestre que é proposto no caderno do aluno. Mesmo assim, retomaremos
o mesmo conteúdo após as férias, isto é, 3º bimestre. Sempre adequando o
planejamento para que nenhum conteúdo importante do 2º bimestre, que
conste no caderno do aluno fique prejudicado.
Faremos
agora um grupo de exercícios que pode ajudar o aluno a compreender
melhor a utilização de medidas racionais em triângulos e as diversas
operações.
Exercícios
1-)
Um grupamento do corpo de bombeiros tem que fazer um treinamento de
resgate. Sabendo que o prédio tem 42 m de altura e a corda deve ser
amarrada em uma árvore a 60 metros do prédio, calcule o comprimento
mínimo da corda.
2-)
Um portão de ferro está sendo construído e terá dimensões de 2,50 m de
altura por 1,80 m de largura. O serralheiro tem que cortar uma “mão
francesa”, que é um reforço feito na diagonal do portão. Qual o
comprimento dessa barra de reforço?
Exercícios 1 e 2
Grupo 1 – Exercícios para compreensão da função seno.
Grupo 2 – Exercícios para compreensão da função cosseno.
Grupo 3 – Exercícios para compreensão da função tangente.
Por
ter percebido que vários alunos acreditam que, por exemplo, 7,5 e 7/5
representam a mesma quantidade, podemos também, desenhar uma reta
numérica e marcar os pontos 3,2 e 3/2; 7,5 e 7/5; 7,2 e 7/2 para que
eles perceberem melhor a diferença entre tais números. Escolhi valores
baixos e usarei a régua de 30 cm como escala.
Desafio
1
– Um edifício está a uma distância de 160 metros de um observador. O
ângulo de visada entre o observador e o topo do edifício é de 17º.
Sabendo que a altura do chão até o olho do observador é de 1,65 m,
calcule a altura do edifício?
Observação: Desenho ilustrativo. Não respeita a escala nem a proporção real.
Tabela Trigonométrica
Tabela trigonométrica disponível no site: www.matematikanakabeca.com.br
Calculadora de Cores (Colour Calculator)
Colour Calculator
Em
2006, ao cursar a Pós Graduação e Educação Matemática, na PUC-SP, em
uma das atividades sobre "Novas tecnologias e o uso nas aulas de
Matemática", utilizamos uma aplicativo online que simulava uma
calculadora diferente. Esta calculadora não apenas dava o resultado
numérico com várias casas decimais como também escrevia cada número como
sendo um quadrículo colorido em uma grade ou tabuleiro (uma cor
diferente para cada algarismo de 0 a 9). Na época fiquei bastante
animado com as possibilidades de uso, pois poderíamos estudar padrões
numéricos que ocorrem nos períodos dos números decimais (números
racionais - Q).
Recentemente,
revendo alguns apontamentos da época, lembrei o link onde está este
belíssimo trabalho da pesquisadora canadense Dra. Nathalie Sinclair
(Educação Matemática).
Exemplificando:
Imagine que você tem uma calculadora comum e quer dividir 1 em 29
partes iguais. Será que o resultado "cabe" no visor da calculadora? É
possível verificar qual é o período da dízima? Existe um padrão
matemático no resultado desta divisão?
Clicando
em "Width of table", teremos a possibilidade de mudar (para maior ou
menor) o número de quadradinhos do tabuleiro, de forma a encontrar um
que "desenhe" o padrão deste período.
a.s.c.
