ESTUDO DAS MATRIZES

Por: Adriano Sumar Cardoso

Págia 6 – Tema 1: Matrizes – SIGNIFICADOS

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em muitos ramos da ciência e da engenharia. Os computadores realizam muitas operações através de matrizes. Vejamos um exemplo.

Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.

Nome	Peso(kg)	Idade(anos)	Altura(m)
Paulo José João Pedro Ary	70 60 55 50 66	23 42 21 18 30	1,70 1,60 1,65 1,72 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.

Neste exemplo, temos uma matriz de ordem 5x3 (lê:-se cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. De forma abreviada, podemos escrever uma matriz como:

A = (a_ij)_mxn ou A = (a_ij), 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m

Além dessa representação, existem vários tipos de matrizes. A atividade a seguir propõe a construção de uma matriz através de sua lei de formação.

Por: Adriano Sumar Cardoso 

Observações e Orientações do Professor: Embora pouco utilizada, existe mais uma maneira de representarmos uma matriz. Na última m atriz genérica (ou matriz geral) da Figura 1, observamos duas barras verticais em cada um dos lados na matriz. Tome cuidado com uma só barra de cada lado. Se você encontrar esta representação, seu significado é o DETERMINANTE de uma matriz, que estudaremos posteriormente. Já deparei com alunos confundindo esta representação com o módulo de um determinante, então, não costumo usar dois traços. Mais atento ainda devem ficar os “programadores de computador”.

Veja a Figura 1:

Forma Geral ou Forma Genérica do Determinante de uma Matriz. Figura 2.

A orientação do caderno do aluno é pertinente com a realidade atual de vocês. Matriz (do latim Matrix. Significado: a que gera, que dá origem, mãe, tronco principal etc.). Na matemática significa quadro ou tabela de m linhas por n colunas (mxn), onde mxn representa o tamanho (ordem ou tipo) da matriz. Exemplo: A= (a_ij )_3x2 é uma matriz de nome A com 3 (três) linhas horizontais e 2 (duas) colunas verticais, sempre nesta ordem, m e i são linhas e n e j colunas. Se uma matriz for quadrada, isto é, mesma quantidades de linha e colunas, chamaremos de matriz de ordem n. Por exemplo, a matriz da figura 3 é de ordem 3, pois tem o mesmo número de linhas e colunas.

Exercícios resolvidos: Escreva a matriz A=(a_ij)_4x3, tal que: a_ij = i+j.

Orientações: Escreva a matriz genérica do tipo 4x3, isto é, com 4 linhas e 3 colunas.

Substitua os índices de cada elemento da matriz na lei de formação da matriz que deseja encontrar (gerar).

Lei de formação (fórmula ou receita) que criará a matriz numérica a partir da matriz genérica.

Lei de formação: A = (a_ij)_4x3, onde a_ij = i + j.

a₁₁ = 1 + 1 = 2

a₁₂ = 1 + 2 = 3

a₁₃ = 1 + 3 = 4

a₂₁ = 2 + 1 = 3

a₂₂ = 2 + 2 = 4

a₂₃ = 2 + 3 = 5

a₃₁ = 3 + 1 = 4

a₃₂ = 3 + 2 = 5

a₃₃ = 3 + 3 = 6

a₄₁ = 4 + 1 = 5

a₄₂ = 4 + 2 = 6

a₄₃ = 4 + 3 = 7

Substitua os valores calculados em seus lugares corretos, conforme índices dos elementos. Não separe os elementos com vírgula ou ponto e vírgula e nem escreva a letra da fórmula.

Pronto, chegamos ao resultado final. 

Fonte: SP Faz Escola - Caderno do Aluno – Ano:2020     

                                                                     a.s.c.

Regra de Sinais e Ordem das Operações. Vídeo aula criada em 2014. 

GEOMETRIA ANALÍTICA

Distância entre dois pontos

A Geometria Analítica objetiva conciliar as relações algébricas com as relações geométricas, isto é, une conhecimentos de Álgebra com os de Geometria. Possibilita o estudo algébrico de figuras geométricas e, reciprocamente, a interpretação geométricas de ralações algébricas.

O Plano Cartesiano

Chamamos de Plano Cartesiano ao par de eixos perpendiculares (que se cruzam e tem ângulo igual à  90 º) e orientados (eixo x na horizontal e eixo y na vertical) que ocupam um lugar no plano (R² ou 2D). Ao eixo x damos o nome de eixo da abscissas e ao eixo y damos o nome de eixo das ordenadas. Os valores de coordenadas x e y são ordenados, isto é, por serem uma dupla numérica escrita sempre na ordem alfabética são chamados de par ordenado (x, y). O nome Cartesiano foi usado para homenagear o matemático francês René Descartes (Cartesius em latim), que introduziu a noção de coordenadas, com dois eixos que se cruzam em um ponto (chamado de origem do sistema). A origem tem coordenadas (0, 0).

R² = {(x,y)  | x, y  ∈ R}

Cada ponto de coordenadas (x, y) será nomeado com uma letra do alfabeto latino em caractere maiúsculo. Terá seus elementos entre parenteses e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Exemplo: A (-3, 4) ; B(3, -2) ; J(2,5 ; 3/7) ; K (1 ; 3) etc.

Distância entre dois pontos

Chama-se distância entre dois pontos à medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades. Vale lembrar que chamamos de segmento de reta a um "pedaço" finito de uma reta (que é infinita).

O vídeo que fiz  para explicar a distância entre dois pontos está lincado abaixo. Faço a resolução de um exemplo prático.

Link do vídeo: Distância entre 2 pontos - vídeo - youtube

Utilizando o conhecimento do Plano Cartesiano e o conhecimento do Teorema de Pitágoras podemos escrever a fórmula da distância entre dois pontos.

a.s.c.

dist2pontos

Logaritmos

O nobre escocês John Napier (1550-1617), Barão de Murchiston, ao contrário de Briggs, não era um matemático profissional. Ele desenvolveu o sistema de logaritmos neperianos (base e) e o eminente professor Henry Briggs (1556-1630), que ocupava no Gresham College a primeira cátedra de matemática criada na Inglaterra, desenvolveu o sistema de logaritmos decimais (base 10) e publicou a primeira tábua de logaritmos de 1 a 1000. O desenvolvimento de tal sistema foi devido, principalmente, à necessidade de simplificação de cálculo ligado a astronomia. Através dos logaritmos, operações de multiplicação são transformadas em adição, de divisão em subtração e outras propriedades. A ideia básica de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para o uso de expoente.

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O logaritmo de um número real e positivo a, na base b (diferente de 1 e positiva) é o número c ao qual se deve elevar b para se obter a.

log_ba = c <=> b^c = a , com a >0, b >0 e b diferente de 1.

Onde b é a base do sistema de logaritmos, a é o logaritmando ou antilogaritmo e c é o logaritmo.

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Exemplos Resolvidos

I - Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:

1. log₂₅ 0,2 = 25^c = 0,2 => 25^c = 2/10 =>5^2c = 1/5 => 5^2c = 5 ^-1.^.. c = -1/2
   Resposta: c = -1/2
2. log₃ 81 = 3^c = 81 => 3^c = 3⁴.^.. c = 4
   Resposta: c = 4
3. log₅ 0,000064 = 5^c = 0,000064 => 5^c = 64/1000000 => 5^c = 2⁶/10⁶ => 5^c = (2/10)⁶ =>
   => 5^c = (1/5)⁶ => 5^c = 5^{-1 . 6}.^.. c = - 6
   Resposta: c = - 6
4. ln e³ = log_ee³=c => e^c = e³ .^.. c = 3
   Resposta: c = 3

II - Outros Exemplos:

a)   log₂8 = 3       porque    2³ = 8.

b)    log 100000 = 5      porque    10⁵ = 100000. 

c) log₇1 = 0       porque    7⁰ = 1.

d) log2 = 0,3010        porque    10^0,3010 = 2.

e) log₃9 = 2       porque    3² = 9.

f) log5 = 0,06990      porque    10^0,06990 = 5.

g)  log₅5 = 1       porque    5¹ = 5.

                      

h)    ln e = 1                    porque    e¹ = e = 2,7183... .

i) log₃1/9 =-2  porque    3^-2=1/9.                    

j) log2/3 =-0,1761   porque    10^-0,1761 = 2/3.

Observação: Quando a base não for especificada, sabemos que ela é igual a 10.

NÚMEROS, GEOMETRIA E RELAÇÕES

Introdução

O Currículo de Matemática do Governo do Estado de São Paulo divide o Estudo da Matemática em três blocos temáticos. São eles: Números, Geometria e Relações. Naturalmente, os conteúdos dos três blocos interpenetram-se permanentemente, sendo praticamente impossível abordar um deles sem a participação quase automática dos dois outros, e é importante mencionar a positividade de tal fato.

Os NÚMEROS envolvem as noções de contagem, medida e representação simbólica, tanto de grandezas efetivamente existentes quanto de outras imaginadas a partir das primeiras, incluindo-se a representação algébrica das operações fundamentais sobre elas. Duas ideias fundamentais na constituição da noção de número são as de equivalência e de ordem.

A GEOMETRIA diz respeito diretamente à percepção de formas e de relações entre elementos de figuras planas e espaciais; a construção e a representação de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e a elaboração de concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do mundo físico que nos cerca.

As RELAÇÕES, consideradas como um bloco temático, incluem a noção de medida, com a fecundidade e a riqueza da ideia de aproximação; as relações métricas em geral; e as relações de interdependência, como as de proporcionalidade ou as associadas a ideia de função. De fato, os Números são construídos a partir das relações de equivalência e de ordem; na Geometria, um lugar de especial destaque é ocupado pelas relações métricas; e praticamente todas as Relações que imaginarmos incluirão números ou formas geométricas.

GRUPO I – Competências para observar:

H1 - Reconhecer as diferentes representações de um número racional;
H2 – Identificar fração como representação que pode ser associado a diferentes significados;
H3 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.

GRUPO II – Competências para realizar

H10 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).

GRUPO III – Competências para aprender:

H15 – Resolver problemas com números racionais que envolvam as seis operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação); 

H16 – Resolver problemas que envolvam porcentagem.

O Conjunto Q - Números Racionais

Definição

Concluímos que: 

Entre duas frações que tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. 

Entre duas frações que tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

Todo número natural pode ser representado por uma fração com denominador igual a 1. 

Então, é possível reunir os números naturais e os números fracionários em um único conjunto, chamado de conjunto dos números racionais absolutos, ou conjunto dos números racionais Q.

NÚMEROS:  equivalência /ordem; simbolização /operações;

GEOMETRIA: percepção/concepção; construção /representação;

NÚMEROS:  medidas/aproximações; proporcionalidade / interdependência.

Baseado neste contexto e conforme atividade proposta por este curso, elaboramos uma aula para o 9º ano onde Competências do Sujeito e suas Habilidades H1, H2, H3, H10, H15 e H16 sejam contempladas. O que são tais habilidades? Abaixo, destacamos cada uma delas: 

Proporcionalidade, noção de semelhança; 

Relações Métricas no Triângulo Retângulo; 
Razões Trigonométricas.

A melhor matéria do currículo ou do Caderno do Aluno que pode contemplar tais competências é a do 3º Bimestre – Geometria / Medidas. Mais especificamente:

Revisão de conteúdos resumidos das séries anteriores para a melhor compreensão do conteúdo da série atual

Os números racionais são representados por um numeral em forma de fração ou razão, na forma a/b, sendo a e b números naturais, com b diferente de zero. O termo a chama-se numerador e o termo b chama-se denominador. Número racional é aquele definido por uma classe de equivalência da qual cada fração é um de seus representantes.

Número racional natural ou número natural:  0 = 0/1 = 0/2 = 0/3… ( definido pela classe de equivalência que representa o número racional 0).

1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (definido pela classe de equivalência que  representa o número racional 1).

2 = ..., e assim por diante.

Número racional fracionário ou número fracionário:

3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... (definido pela classe de equivalência que representa o número racional 3/5).

No estudo das frações equivalentes são válidas as propriedades REflexiva, SImétrica e TRANsitiva (RE-SI-TRAN), com o denominador diferente de zero.

Reflexiva: a/b ~ a/b

Simétrica: se a/b ~c/d, então : c/d ~ a/b

Transitiva: se a/b ~ c/d ec/d ~p/q, então: a/b ~ p/q

Para compararmos duas ou mais frações quaisquer, primeiramente convertemos todas as frações envolvidas em frações de mesmo denominador.

Exemplo: Escreva em ordem crescente , da menor para a maior, as seguintes frações: 5/3, 3/4, 1/2 e 2/1.

Determinamos o m.m.c. dos denominadores. Temos que o m.m.c. (3,4,2,1) = 12.

5/3, 3/4, 1/2, 2/1  <=> 25/12, 9/12, 6/12, 24/12, logo, em ordem crescente temos: 6/12 < 9/12 < 24/12 < 25/12  se,e somente se,  1/2 < 3/4 < 2/1 < 5/3.

Um número representado por uma fração não muda seu valor quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero, ao mesmo tempo.

O símbolo de equivalência para frações é ~.

Exemplo:

1) 2/3 ~ 2x5/3x5 ~ 10/15 ~ 10x2/15x2 ~ 20/30 ~ 20.4/30.4 ~ 80/120 ~ ...

2) 36/18 ~ 36:2/18:2 ~ 18/9 ~ 18:3/9:3 ~ 6/3 ~ 6:3/3:3 ~ 2/1

Ao conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada, chamamos de Classe de equivalência.

Exemplo:

1) { 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, ...} representa a classe de equivalência da fração 2/3.

2) {5/1, 10/2, 15/3, 20/4, ...} representa a classe de equivalência da fração 5/1.

Tipos ou Nomes das Frações

Próprias: representam quantidades menores que 1.

( 1/2, 3/4, 2/7, 5/6, ...)

2) Impróprias: representam quantidades iguais ou maiores que 1.

(7/7, 5/3, 6/1, 13/4, ...)

3) Aparentes: as que representam um número natural.

(12/3=4, 6/2=3, 100/50=2, ...)

4) Decimais: as que tem o denominador igual a 10 ou potência de 10.

(7/10, 9/100, 15/1000, 1/10000, ...)

5) Iguais: as que possuem os termos iguais, isto é, mesmo numerador e mesmo denominador.

(3/4 = 3/4, 5/2 = 5/2, 13/25 = 13/25, ...)

6) Ordinárias: é o nome dado a todas as frações, com exceção àquelas que possuem como denominador 10 ou uma potência de 10.

7) Irredutível: é a fração que não pode ser mais simplificada, porque seus termos são primos entre si.

(3/4, 5/6, 3/7, 11/20, ...)

8) Mista: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária.

2 4/7 = 2 + 4/7 = 18/7, veja que: 18:7 = 2 e resta 4

Observação: Para simplificar uma fração, desde que não tenha termos primos entre si, basta dividir os dois termos pelo seu máximo divisor comum - m.d.c.

1)    36/15 = 36:3/15/3 = 12/5

2)    10/35 = 10:5/35:5 = 2/7

Utilizando as Competências do Grupo I, II e III para o ensino das Semelhanças, Relações Métricas no Triângulo Retângulo e Relações Trigonométricas.

Ao aplicarmos o teorema de Pitágoras, por exemplo, escrevendo os valores das medidas dos lados na forma de frações e depois na forma de decimais exatos, podemos dar ao aluno um exemplo significativo para a compreensão da relação entre os dois tipos de números racionais. Além disso, podemos adequar o exercício de modo a utilizar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Por exemplo, no triângulo abaixo (Exemplo de Aplicação 1) ao calcularmos o valor da medida do lado X, temos a possibilidade de trabalharmos com frações ou decimais exatos. Lembrando que podemos até falar para o aluno que o número de casas após a vírgula só aumenta a precisão da medida. Quanto mais casas após a vírgula, mais difícil é para desenharmos o lado do triângulo ou uma medida de comprimento qualquer. Pode ser comentado que existe o “paquímetro”, que é um equipamento para medidas de comprimento com uma maior precisão que a régua comum de 30 cm que acompanha o kit que eles ganharam.

Régua 30 cm

 Paquímetro analógico

Exemplo de Aplicação 1: Usando a régua, desenhe e calcule o valor do cateto X no triângulo abaixo. Para cada 1 m (metro) da medida real contida no texto, considere 1 cm (centímetro) da sua régua do kit.


Usando decimais exatos.

a -) Achar a medida de um dos catetos.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: a² = b² + c²

3,5² =  (2,5)² + b²

12,25 = 6,25 + b²

12,25 – 6,25 = b²

b² = 6

b =

b = 2,45 m

b-) Achar a medida de um dos catetos.

Questionário:

1-    Foi fácil usar a régua para achar a medida correta dos lados 2,5 cm; 3,5 cm e X?

2-    Como você fez para medir o ângulo reto do triângulo retângulo?

3-    Você conhece o paquímetro? O que acha de fazer uma pesquisa na internet para conhecê-lo?

4-    Você percebeu e compreendeu porque os resultados encontrados nos dois exercícios são iguais?

5-    Qual dos exercícios você achou mais fácil de calcular, o com decimais ou o com frações?

6-    A medida do menor cateto é quantos por cento do maior cateto?

Observação: Ao pedirmos para o aluno calcular o valor de X da hipotenusa, ele terá de fazer a operação de adição e, então, terá treinado as seis operações (adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação) com números racionais. Vale lembrar, dos cálculos de mdc e mmc. Para simplificar as frações redutíveis usamos o mdc e para equilibrar os denominadores nas adições e subtrações de frações com denominadores diferentes usamos o mmc.

Trigonometria No Triângulo Retângulo

Razões Trigonométricas

Seno - Num triângulo retângulo, o sen de um ângulo agudo é dado pelo quociente (resultado de uma divisão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Na calculadora científica o seno é indicado pela tecla sin.

Cosseno - Num triângulo retângulo, o cos de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Tangente - Num triângulo retângulo, a tg de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto oposto e cateto adjacente a esse ângulo. Podemos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cosseno do mesmo ângulo. Na calculadora científica a tangente é indicada pela tecla tan.

Ao demonstrar as possíveis relações entre os lados de um triângulo retângulo, tomados dois a dois, devemos falar que são seis possibilidades e que só as três acima serão aprendidas agora, na 8ª série (ou 9º ano) do E. F. Daí, o aluno entenderá que não deve inverter os catetos ou a hipotenusa quando escrever a relação trigonométrica.

O uso da tabela e da calculadora é muito importante nessa fase, visto que o aluno que tem dificuldades em fazer as operações básicas manualmente, não se sentirá deslocado do grupo. Particularmente, levo minhas calculadoras e tablet para auxiliar os alunos durante as aulas. A maioria dos alunos possuem smartphones com aplicativos de calculadoras científicas. Como o smarphone é considerado a invenção do século e por ter várias utilidades, tento fazer com que eles utilizem tais tecnologias, mas sem se dispersar da aula com outras funções do celular. Também uso um aplicativo para smartphones que serve para medir ângulos. É um transferidor digital e muito preciso. Bom para comparar as medidas de graus do transferidor e do aplicativo para android quando o desenho é na lousa. Inclusive já usei este aplicativo para medir o ângulo e de calcular o coeficiente angular durante algumas aulas de Geometria Analítica para a 3ª série do ensino médio.

Aplicativo para android: Transferidor- Smart Protractor

Razões Trigonométricas – Junho/2013

Na aula da foto acima expliquei as seis possíveis combinações ao relacionarmos dois lados de um triângulo retângulo. É bom comentar que só estudaremos três das seis possibilidades. Note que aparece escrito na lousa: “Nesta série estudaremos apenas as três primeiras. São elas:...”

Correção da Prova Diagnóstica – Março/2013

Podemos usar a tabela trigonométrica e a calculadora científica para que o aluno entenda que os valores são os mesmos. Devemos explicar que antes da calculadora e do computador os matemáticos tinham que fazer esses cálculos manualmente. Podemos encaixar neste momento um pouco de história da matemática.

A foto acima foi tirada durante a correção da prova diagnóstica aplicada pela Diretoria de Ensino, que foi aplicada para as quatro turmas das 8ª séries que leciono. Percebi que todos os alunos erraram o exercício da escada encostada na parede, que utiliza o Teorema de Pitágoras. Então a medida imediata para corrigir tal problema, foi antecipar o conteúdo do 3º bimestre que é proposto no caderno do aluno. Mesmo assim, retomaremos o mesmo conteúdo após as férias, isto é, 3º bimestre. Sempre adequando o planejamento para que nenhum conteúdo importante do 2º bimestre, que conste no caderno do aluno fique prejudicado.

Faremos agora um grupo de exercícios que pode ajudar o aluno a compreender melhor a utilização de medidas racionais em triângulos e as diversas operações.

Exercícios

1-) Um grupamento do corpo de bombeiros tem que fazer um treinamento de resgate. Sabendo que o prédio tem 42 m de altura e a corda deve ser amarrada em uma árvore a 60 metros do prédio, calcule o comprimento mínimo da corda.

2-) Um portão de ferro está sendo construído e terá dimensões de 2,50 m de altura por 1,80 m de largura. O serralheiro tem que cortar uma “mão francesa”, que é um reforço feito na diagonal do portão. Qual o comprimento dessa barra de reforço?

Exercícios 1 e 2

Grupo 1 – Exercícios para compreensão da função seno.

Grupo 2 – Exercícios para compreensão da função cosseno.

  Grupo 3 – Exercícios para compreensão da função tangente.

Por ter percebido que vários alunos acreditam que, por exemplo, 7,5 e 7/5 representam a mesma quantidade, podemos também, desenhar uma reta numérica e marcar os pontos 3,2 e 3/2; 7,5 e 7/5; 7,2 e 7/2 para que eles perceberem melhor a diferença entre tais números. Escolhi valores baixos e usarei a régua de 30 cm como escala.

Desafio

1 – Um edifício está a uma distância de 160 metros de um observador. O ângulo de visada entre o observador e o topo do edifício é de 17º. Sabendo que a altura do chão até o olho do observador é de 1,65 m, calcule a altura do edifício? 

Observação: Desenho ilustrativo. Não respeita a escala nem a proporção real.

Tabela Trigonométrica 

Tabela trigonométrica disponível no site: www.matematikanakabeca.com.br

Calculadora de Cores (Colour Calculator) 

Colour Calculator 

Em 2006, ao cursar a Pós Graduação e Educação Matemática, na PUC-SP,  em uma das atividades sobre "Novas tecnologias e o uso nas aulas de Matemática", utilizamos uma aplicativo online que simulava uma calculadora diferente. Esta calculadora não apenas dava o resultado numérico com várias casas decimais como também escrevia cada número como sendo um quadrículo colorido em uma grade ou tabuleiro (uma cor diferente para cada algarismo de 0 a 9). Na época fiquei bastante animado com as possibilidades de uso, pois poderíamos estudar padrões numéricos que ocorrem nos períodos dos números decimais (números racionais - Q). 

Recentemente, revendo alguns apontamentos da época, lembrei o link onde está este belíssimo trabalho da pesquisadora canadense Dra. Nathalie Sinclair (Educação Matemática). 

Veja em: http://tapor1.mcmaster.ca/~sgs/cgi-bin/Maths/maths.cgi?theme=none&lang=en&do=activity&activity=calc&level=0

Exemplificando: Imagine que você tem uma calculadora comum e quer dividir 1 em 29 partes iguais. Será que o resultado "cabe" no visor da calculadora? É possível verificar qual é o período da dízima? Existe um padrão matemático no resultado desta divisão? 

Clicando em "Width of table", teremos a possibilidade de mudar (para maior ou menor) o número de quadradinhos do tabuleiro, de forma a encontrar um que "desenhe" o padrão deste período.

a.s.c.